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Variogramme (HU)

De Wikigeotech

Traduction anglaise : Variogram

Dernière mise à jour : 18/11/2022

Fonction mathématique utilisée en géostatistique, en particulier dans les techniques de krigeage, pour analyser et caractériser la dépendance de la structure spatiale des observations.

Définition précise

Considérons une variable aléatoire $ Z $ prenant des valeurs dans un espace à une ou plusieurs dimensions et supposée stationnaire et isotrope dans cet espace. On définit la quantité $ γ $, mesurant la variance de l'écart entre les valeurs prises par les valeurs de $ Z $ entre deux points $ x $ et $ y $ quelconques, distants de $ h $ dans cet espace :


$ γ(h) = \frac{1}{2}Var\left[Z(x)-Z(y)\right]\quad (1) $


Comme la variable est stationnaire sa moyenne est la même sur tout l'espace, donc :


$ γ(h) = \frac{1}{2}E\left[\left(Z(x)-Z(y)\right)^2\right]\quad (2) $


Le variogrammme représente l'évolution de la variance de $ \left(Z(x)-Z(y)\right) $ pour une même distance $ h $ entre les points $ x $ et $ y $ en fonction de cette distance.

Signification du variogramme

Logiquement la variance augmente avec la distance et le variogramme fournit une information sur la structuration dans l'espace du phénomène représenté par la variable aléatoire :

  • Dans un phénomène parfaitement organisé d'une taille donnée, la variance sera très faible pour les distances inférieures à la taille du phénomène et deviendra ensuite très grande pour des distances supérieures ;
  • Si les valeurs de la variable aléatoire sont totalement indépendantes les unes des autres (absence de phénomène organisateur), la variance sera indépendante de la distance ;
  • etc.

Tout variogramme présente un palier lorsque la distance augmente (figure 1). la portée représente la distance à partir de laquelle le variogramme reste dans un intervalle de 5 % autour de son palier. La portée indique en fait la distance à partir de laquelle la corrélation entre les événements devient (quasiment) nulle. Il est à noter que dans la pratique et pour de nombreux phénomènes le variogramme ne tend généralement pas vers zéro lorsque la distance devient très faible (on parle parfois d'effet pépite pour indiquer des hétérogénéités résiduelles à petite échelle).


Figure 1 : Exemple de variogramme avec un phénomène très structuré et une portée de l'ordre de 23km.

Utilisation en hydrologie

Les techniques de krigeage, et en particulier l'utilisation des variogrammes sont très utiles en hydrogéologie pour caractériser les eaux souterraines en quantité ou en qualité. En hydrologie, les variogrammes sont en particulier utilisés pour analyser la structure spatiale des pluies (voir krigeage).

Pour en savoir plus :

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