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Courant-Friedrich-Levy / CFL (condition de) (HU)

De Wikigeotech

Traduction anglaise : Courant-Friedrich-Levy's condition

Dernière mise à jour : 14/04/2021

Condition nécessaire pour qu'un schéma numérique produise une solution cohérente lors de la résolution d'une équation différentielle hyperbolique (ou pour un système d'équations aux dérivées partielles).

Sommaire

Éléments d'historique

La condition CFL porte le nom de trois mathématiciens allemands (Richard Courant, Kurt Friedrichs et Hans Lewy) qui ont publié en 1928 un article (Courant et al., 1928) concernant l’analyse d’équations aux dérivées partielles et leur approximation numérique. Cet article mettait en évidence une condition nécessaire pour qu’un algorithme de calcul produise une solution cohérente. Cet article très en avance sur son temps a trouvé un intérêt majeur avec le développement des ordinateurs permettant la mise en œuvre de différentes méthodes numériques de résolution consistant à discrétiser le domaine de travail en pas de temps $ Δt $ et en pas d'espace $ Δx $.

Cette condition se met sous la forme :


$ \frac{Δx}{Δt}\ ≥\ c \quad (1) $


Avec :

Nota : la quantité $ C_0 = c\frac{Δt}{Δx} $ est appelé Nombre de Courant.

Utilisation en modélisation hydraulique

Interprétation intuitive de la condition CSL en hydraulique

Considérons un plan d'eau parfaitement tranquille. A l'instant $ t = 0 $, on jette un caillou en un point particulier de ce plan d'eau. Ce caillou provoque l'apparition d'ondes qui se déplacent avec une célérité $ c $ à partir du point d'impact. Si l'on trace une droite passant par le point d'impact et que l'on représente par la variable $ x $ la position d'un point sur cet axe, il est possible de représenter le déplacement de la première onde dans un repère $ x, t $ ($ t $ représentant le temps).


Figure 1 : Représentation schématique de la propagation d'une perturbation dans l'espace abscisse-temps.

Les deux courbes obtenues sont les courbes caractéristiques de l'équation régissant le phénomène. Elles séparent le domaine en deux sous-domaines aux propriétés très différentes :

  • la partie non hachurée n'est pas encore perturbée par le fait que l'on a jeté un caillou ; en fait, l'information « on a jeté un caillou » n'est pas encore arrivé jusqu'en ces points ;
  • la partie hachurée, pour sa part a reçu l'information et son état dépend du fait que l'on a jeté un caillou.

Considérons par exemple un point quelconque $ A $, situé à l'abscisse $ x $ et au temps $ t $. Ce point est situé à l'intersection de deux courbes caractéristiques, l'une provenant de la droite et l'autre de la gauche (des $ x $ négatifs et des $ x $ positifs). Au temps $ t - Δt $, ces deux courbes passaient respectivement par les positions $ x - Δx $ et $ x + Δx $. Ceci signifie que l'état du milieu au point $ x $ dépend de l'état du milieu au temps $ t - Δt $ entre les points $ x - Δx $ et $ x + Δx $, mais qu'il est indépendant de l'état du milieu au même instant et à l'extérieur de ce domaine, l'information n'ayant pas eu le temps d'arriver jusqu'à l'abscisse $ x $.


Figure 2 : Domaine d'influence du point $ A $.

Ceci montre qu’il existe une relation entre la célérité $ c $ de l’onde et les pas de temps, $ Δt $ et d’espace, $ Δx $, qui doit être nécessairement vérifiée pour assurer la stabilité du schéma de résolution. On retrouve ainsi facilement la condition CSL entre les pas de temps et d'espace :


$ \frac{Δx}{Δt}\ ≥\ c \quad (1) $


Cas des ondes se propageant dans un fluide en mouvement

Si les ondes se propagent dans un milieu qui est lui-même en mouvement, l'eau s'écoulant de l'amont vers l'aval à la vitesse $ V $, la célérité des ondes par rapport à un repère fixe va être différente selon que l'onde va vers l'amont ou vers l'aval. Le déplacement des ondes dans un repère fixe $ x, t $ s'effectuera à la vitesse ($ V + c $) pour l'onde « descendante » (allant de l'amont vers l'aval) et à la vitesse ($ V - c $) pour l'onde « montante ».

Comme la condition CSL doit être vraie pour les deux ondes, on doit vérifier :


$ \frac{Δx}{Δt}\ ≥\ |V\ ±\ c|\quad (2) $


Il est important de préciser que l'établissement de cette condition nécessite que la dérivée seconde de la relation entre la section mouillée et la hauteur soit nulle, c'est-à-dire pratiquement, que la section soit rectangulaire et que l'on puisse négliger l'accélération.

Évaluation de la célérité de l'onde

Dans le cas d'ondes de gravité se déplaçant dans un milieu peu profond, la célérité des ondes par rapport à l'eau peut s'exprimer simplement en fonction de la profondeur :


$ c = \sqrt{g.h}\quad (3) $

Avec :

  • $ g $ : accélération de la pesanteur ($ m/s^2 $) ;
  • $ h $ : hauteur de l'eau ($ m $).

En reportant la relation (3) dans la relation (2), on peut donc écrire une condition suffisante de stabilité et de convergence des schémas numériques explicites sous la forme :


$ \frac{Δx}{Δt}\ ≥\ |V\ ±\ \sqrt{g.h}|\quad (4) $

Cette condition est en particulier utilisée pour les schémas explicites de résolution des équations de Barré de saint venant par différences finies.

Quelques commentaires sur la condition CSL en hydraulique

La formulation générale simple de cette relation couvre en réalité une réalité beaucoup plus compliquée :

  • Si l'onde se déplace moins vite que l'eau ($ c < V $), les deux ondes vont de l'amont vers l'aval ; il s'agit alors d'un régime hypercritique (torrentiel) dont la résolution nécessite deux conditions aux limites à l'amont, alors que dans le cas d'un régime fluvial, la résolution se fait à partir d'une condition amont et d'une condition aval ; indépendamment de la condition CSL, le schéma numérique ne sera stable que dans la mesure où les conditions aux limites seront bien choisies.
  • La condition issue de la relation (4) est souvent utilisée pour d'autres conditions que celles pour lesquelles elle a été établie (profondeur faible, accélération négligeable, profil rectangulaire, etc.). Dans de nombreux cas, il est possible de choisir une valeur de pas de temps supérieure à celle donnée par cette relation ; à l'inverse il existe des cas où les schémas divergent même lorsque la condition CSL écrite sous la forme (4) est vérifiée.

Bibliographie :

Pour en savoir plus :

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