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Caractéristique (courbe) (HU)

De Wikigeotech

Traduction anglaise : Characteristics

Dernière mise à jour : 26/2/2020

Pour une équation aux dérivées partielles hyperboliques (ou pour un système d'équations aux dérivées partielles), les courbes caractéristiques (ou les surfaces caractéristiques si le système a plus de deux dimensions) sont les courbes (ou les surfaces) sur lesquelles se propagent les perturbations.

Sommaire

Intérêt mathématique pour la résolution des équations

De façon plus précise si les équations représentent un phénomène de propagation d'ondes se déplaçant à la célérité $ c $ dans un repère fixe (eulérien), les caractéristiques constituent des courbes ou des surfaces particulières (équations à une ou plusieurs dimensions d'espace), le long desquelles, pour un observateur se déplaçant à la célérité des ondes, les équations aux dérivées partielles apparaissent comme des équations différentielles totales qui peuvent, dans les cas simples (équations linéaires), être résolues analytiquement. Cette méthode de résolution est due au mathématicien Gaspard Monge (1748-1818) qui l'appliqua, en 1809, à 'étude de l'équation des cordes vibrantes.

Interprétation intuitive en hydraulique

En hydraulique, il est possible d'imager ces courbes dans un cas simple : considérons un plan d'eau parfaitement tranquille. A l'instant $ t = 0 $, on jette un caillou en un point particulier de ce plan d'eau. Ce caillou provoque l'apparition d'ondes qui se déplacent à partir du point d'impact. Si l'on trace une droite passant par le point d'impact et que l'on représente par la variable $ x $ la position d'un point sur cet axe, il est possible de représenter le déplacement de la première onde dans un repère $ x, t $ ($ t $ représentant le temps).

Figure 1 : Représentation schématique de la propagation d'une perturbation dans l'espace abscisse-temps.


Les deux courbes obtenues sont les courbes caractéristiques de l'équation régissant le phénomène. Elles séparent le domaine en deux sous-domaines aux propriétés très différentes :

  • la partie non hachurée n'est pas encore perturbée par le fait que l'on a jeté un caillou. En fait, l'information « on a jeté un caillou » n'est pas encore arrivé jusqu'en ces points ;
  • la partie hachurée, pour sa part a reçu l'information et son état dépend du fait que l'on a jeté un caillou.

Importance des courbes caractéristiques en hydraulique

Ces courbes jouent un rôle important dans deux domaines :

  • la séparation des régimes d’écoulement (séparation entre régime torrentiel et régime fluvial) ;
  • l’analyse de la stabilité des schémas numériques de résolution des équations.

Considérons par exemple un point quelconque $ A $, situé à l'abscisse $ x $ et au temps $ t $. Ce point est situé à l'intersection de deux courbes caractéristiques, l'une provenant de la droite et l'autre de la gauche (des $ x $ négatifs et des $ x $ positifs). Au temps $ t - Δt $, ces deux courbes passaient respectivement par les positions $ x - Δx $ et $ x + Δx $. Ceci signifie que l'état du milieu au point $ x $ dépend de l'état du milieu au temps $ t - Δt $ entre les points $ x - Δx $ et $ x + Δx $, mais qu'il est indépendant de l'état du milieu au même instant et à l'extérieur de ce domaine, l'information n'ayant pas eu le temps d'arriver jusqu'à l'abscisse $ x $.


Figure 2 : Domaine d'influence du point $ A $.


Ceci montre qu’il existe une relation entre la célérité de l’onde, $ c $ et les pas de temps, $ Δt $ et d’espace, $ Δx $, qui doit être vérifiée pour assurer la stabilité du schéma de résolution. Dans le cas d'un schéma explicite, cette relation se met sous la forme :


$ \frac{Δx}{Δt}\ ≥\ c $


Dans le cas des équations de Barré de Saint Venant, les ondes se propagent dans un milieu qui est lui-même en mouvement, l'eau s'écoulant de l'amont vers l'aval à la vitesse $ V $. Le déplacement des ondes dans un repère fixe $ x, t $ s'effectue donc à la vitesse $ V + c $ pour l'onde « descendante » (allant de l'amont vers l'aval) et à la vitesse $ V - c $ pour l'onde « montante ».

On retrouve ainsi simplement, dans le cas d'un schéma explicite, la condition de Courant-Friedrisch-Levy :


$ \frac{Δx}{Δt}\ ≥\ |V\ ±\ c| $


Il est important de préciser que l'établissement de cette condition nécessite que la dérivée seconde de la relation entre la section mouillée et la hauteur soit nulle, c'est-à-dire pratiquement, que la section soit rectangulaire. On peut également noter que si l'onde se déplace moins vite que l'eau ($ c < V $), les deux ondes vont de l'amont vers l'aval. Il s'agit alors d'un régime hypercritique (torrentiel) dont la résolution nécessite deux conditions aux limites à l'amont, alors que dans le cas d'un régime fluvial, la résolution se fait à partir d'une condition amont et d'une condition aval.

Voir : Ecoulement.

Utilisation de la méthode des caractéristiques pour résoudre les équations de Barré de Saint Venant

En hydraulique, cette méthode a parfois été utilisée pour résoudre le système d'équations de Barré de Saint Venant. Elle est maintenant tombée en désuétude.

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