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Continuité (équation de) (HU)

De Wikigeotech

Traduction anglaise : Continuity equation

Dernière mise à jour : 24/1/2020

Relation traduisant la conservation de la masse (ou plus simplement du volume si on néglige la compressibilité de l'eau), dans un élément hydrologique quelconque (tronçon, bassin de retenue, bassin versant, etc.). On devrait d'ailleurs plutôt dire équation de conservation.


Sommaire

Formulation générale

L'équation de continuité repose sur un principe de physique qui permet d'établir une relation entre certaines caractéristiques du fluide et ses mouvements, indépendamment des causes qui les provoquent. Sa formulation générale sur un domaine quelconque $ D $ est la suivante :


$ \int\int\int_D\left(\frac{\partial ρ}{\partial t}+div(ρ.\overrightarrow V)\right) = 0 \quad (1) $


Soit


$ \int\int\int_D\left(\frac{\partial ρ}{\partial t}+\frac{\partial ρ.\overrightarrow V}{\partial x}+\frac{\partial ρ.\overrightarrow V}{\partial y}+\frac{\partial ρ.\overrightarrow V}{\partial z}\right) = 0 \quad (2) $


Avec :

  • $ ρ $ : masse volumique du fluide ($ kg/m^3 $) ;
  • $ \overrightarrow V $ : vitesse d'écoulement ($ m/s $) ;
  • $ t $ : temps ;
  • $ x, y, z $ : variables d'espace.

Simplifications possibles et formulations pratiques en hydrologie urbaine

Dans la plupart des cas on peut considérer que $ ρ $ est une constante. Selon les cas de figures, d'autres simplifications sont possibles et plusieurs formulations peuvent être rencontrées. Les deux plus classiques en hydrologie urbaine sont celle utilisée pour les ouvrages de stockage et celle utilisée dans les équations de Barré de Saint venant

Cas des ouvrages de stockage

$ \frac{dV_s}{dt}=Q_e(t)-Q_s(t) $


Avec :

  • $ V_s(t) $ : volume instantané stocké dans l'élément hydrologique considéré ($ m^3 $) ;
  • $ Q_e(t) $ : débit total entrant dans l'élément ($ m^3/s $) ;
  • $ Q_s(t) $ : débit total sortant de l'élément ($ m^3/s $).

Cette relation est utilisée directement sous cette forme dans les modèles de simulation des bassins de retenue ainsi que dans certains modèles de propagation en réseau (modèle Muskingum, modèles de stock, etc.).


Cas des équations des Barré de saint venant

Dans le cas des écoulements unidimensionnels, l'équation (2) se simplifie (avec l'hypothèse ρ constant) et peut être écrite sous la forme suivante :


$ \frac{dQ}{dx}+\frac{dS}{dt}=q_e(t) $


Avec :

  • $ S(x,t) $ : section mouillée au point $ x $, à l'instant $ t $ ($ m^2 $) ;
  • $ Q(x,t) $ : débit circulant dans le bief au point $ x $ à l'instant $ t $ ($ m^3/s $) ;
  • $ q_e(x,t) $ : débit entrant ou sortant du bief au point $ x $ à l'instant $ t $ ($ m^3/s $).

C'est sous cette forme qu'elle est mise en œuvre dans les équations de Barré de Saint Venant.

Sous l'une ou l'autre de ces formes, cette équation constitue la base de toute simulation d'un système hydraulique. Sa vérification est indispensable à la bonne qualité de la modélisation.

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