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Calage d'un modèle (HU)

De Wikigeotech

Traduction anglaise : Model Calibration

Dernière mise à jour : 15/4/2020

Ajustement des valeurs numériques attribuées aux paramètres d'un modèle afin que les valeurs calculées d’une variable ou d’une grandeur soient aussi proches que possible des valeurs observées de cette variable ou de cette grandeur. On utilise parfois calibration, sans doute en lien avec le mot anglais.

Concepts de base

D’une manière générale un modèle $ M $ peut être représenté par une relation fonctionnelle du type :

$ M ≡ f [S_j (x, y,t), E_j (x,y,t), {a, b, …. n(x,y,t)}] $

Avec :

  • $ S_j $ : variables « calculées » (ou « expliquées ») par le modèle ;
  • $ E_j $ : variables de « calcul » (ou « explicantes ») ;
  • $ a, b, … n $ : paramètres.

Suivant la structure du modèle, les valeurs des paramètres peuvent être déduites théoriquement ou empiriquement ou être calculées après un calage consistant à ajuster leur valeur de façon à faire correspondre les prévisions du modèle à des observations. Le calage est donc une opération de détermination des valeurs numériques des paramètres d’un modèle permettant à ce dernier de « reproduire » un jeu d’événements ou de données observées.

Critères de qualité d'un calage

La qualité du calage peut être appréciée par une fonction d’écart (ou fonction « objectif »), $ E_c $, entre les variables calculées $ S_{jc} $ et observées $ S_{job} $ dont l’expression générale est :

$ E_c = g [S_{jc} (a, b… n) – S_{job}] $

Le choix « optimisé » des paramètres revient à minimiser la fonction d’écart. Si cette dernière est dérivable, on doit alors résoudre simultanément :

$ \frac{∂Ec}{∂a} = \frac{∂Ec}{∂b} = … = \frac{∂Ec}{∂n} = 0 $

Le minimum de $ E_c $ peut être également estimé par des techniques de recherche opérationnelle d’exploration numérique de l’hypersurface $ E_c(a, b, …..n) $. Il n’existe cependant pas de fonction d’écart unique pour juger de l’ajustement d’un modèle, en particulier lorsqu’il s’agit d’évaluer sa faculté à reproduire une série chronologique $ S(t) $ (hydrogramme par exemple). Les hydrologues utilisent souvent le critère de Nash-Sutcliffe qui s’écrit ;

$ E_c = 1 – \frac{[ ∑(S_{ob}(i.Δt) – S_c(i.Δt))²]}{[ ∑ (S_{ob} (i.Δt) – S_{mob})² ]} $

Avec :

  • $ S_{ob} $ et $ S_c $ : Valeurs observées et calculées au ieme pas de temps ;
  • $ Δt $ : pas de temps de la série chronologique discrétisée ;
  • $ S_{mob} $ : moyenne arithmétique des observations.

Ce critère donne beaucoup de poids aux plus fortes valeurs et il est parfois utilisé sur des variables transformées (logarithmes par exemple). D’autres fonctions d’écart peuvent être utilisées ou être appliquées à une fraction seulement des valeurs $ S_{ob} (i.Δt) $ (valeurs maximales ou minimales, valeurs au-dessus d’un seuil, etc.).

Prise en compte des incertitudes

En toute rigueur la fonction d’écart devrait prendre en compte les erreurs et incertitudes des variables $ S_{ob} $ de contrôle mais également celles des variables « explicantes » $ E-j (x,y,t) $ du modèle. Dès lors, on peut aisément concevoir que « l’optimisation » classique des paramètres d’un modèle, sans référence aux erreurs et incertitudes, n’a que peu de chance d’améliorer la connaissance des phénomènes et, notamment, de dégager des valeurs de paramètres applicables à des situations non observées. Certains chercheurs, notamment en hydrologie, ont ainsi développé le concept d’ « équifinalité » des paramètres, dégageant des plages de l’hypersurface $ E_c (a,b,…n) $ de variation des valeurs numériques des paramètres pour lesquelles les performances d’un modèle peuvent être considérées comme équivalentes (Beven, 1996).


Si on prend en compte les erreurs et les incertitudes, aucun des deux ajustements ne peut être préféré à l'autre (x : variable explicante, y : variable expliquée).

Pour en savoir plus : Beven K. J. (1996) Equifinality and uncertainty in geomorphological modelling, pp. 289-313, The scientific nature of Geomorphology, ed. Wiley, Chichester, GB

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