Discussion utilisateur:Jean-Michel Tanguy/SujetENTPE2021/JUILLARD - MESSIAEN - SARRADE

Cas n°1 :

Canal monodimensionnel plat de longueur L avec les conditions aux limites suivantes : $ Φ(x=0)=1 $ (condition de Dirichlet) et sortie libre amont $ \frac{\partial^{1}Φ(x=L)}{\partial x}=ikΦ(x=L) $ (condition de Robin).

Nous utiliserons les notations suivantes : ϕ pour le potentiel, k pour le nombre d’onde fonction de la profondeur H et de la fréquence ω (T est la période), par la relation implicite $ ω^{2}=gktanh(kH) $, C pour la célérité de l’onde, $ C_{g} $ pour la célérité de groupe des vagues.

Nous utiliserons les valeurs suivantes :$ k=\frac{1}{100} $ (nombre d'onde en m-1), $ H=40 $ (profondeur en m),$ c=\sqrt[2]{gH} $ (célérité de l'onde en m/s),$ λ=2πk $ (longueur d'onde en m) ,$ L=2λ $ (longueur du domaine en m).

Résolution analytique :

Le modèle de Berkhoff a pour une expression :$ \nabla(CC_{g}\nabla(Ф))+k^{2}CC_{g}Ф = 0 $.

On simplifie le problème en se plaçant dans le domaine des ondes longues : $ C=C_{g} $

On obtient donc : $ C^{2}\Delta(Ф)+k^{2}C^{2}Ф=0 $ , c'est-à-dire : $ \frac{\partial^{2} Ф}{\partial x^2}+k^{2}Ф=0 $.

L'équation caractéristique est de la forme suivante : $ ar^{2}+br+c=0 $. On calcule $ \Delta=-4k^{2} $. On a : $ Φ(x) = Ae^{-ikx}+Be^{ikx} $ et $ \frac{\partial^{1}Φ(x)}{\partial x}=-ikAe^{-ikx}+ikBe^{ikx} $ avec (A,B) des constantes réelles à déterminer grâce aux conditions aux limites.

$ Φ(x=0)=A+B=1 $, on a donc $ B = 1-A $.

$ \frac{\partial^{1}Φ(x=L)}{\partial x} = ik(-Ae^{-ikL}+ikBe^{ikL} $.

On a donc $ A = 0 $ et $ B = 1 $. On obtient donc $ Φ(x)=e^{ikx} $.

Au final : $ Ф(x,t)=e^{i(kx-ωt)} $.

L'évolution de la hauteur de la houle au cours du temps correspond à l'équation suivante : $ h(x,t)=Re(Ф(x,t))=cos(kx-ωt) $.

Résolution par la méthode d'homotopie

La relation d'homotopie s'écrit en choisissant la dérivée seconde comme fonction auxiliaire linéaire et en partant d'une solution initiale nulle: $ (1−p)\frac{\partial^{2} Ф}{\partial x^{2}}+p(\frac{\partial^{2} Ф}{\partial x^{2}}+k^{2}Ф)=0 $

Ordre 0 :

On a : $ \frac{\partial^{2}Φ_{0}}{\partial x^{2}}=0 $ Donc $ Φ_{0}= Ax+B $ avec A et B deux constantes réelles à déterminer grâce aux conditions aux limites :

$ Φ_{0}(x=0)=1 $ $ Φ_{0}(x=L)=ikΦ_{0}(x=L) $

On obtient $ B=1 $ et $ A=\frac{ik}{1-ikL} $

On a donc $ Φ_{0}=\frac{ik}{1-ikL}(x+1) $