Discussion utilisateur:Jean-Michel Tanguy/SujetENTPE2021/JUILLARD - MESSIAEN - SARRADE

Cas n°1 :

Canal monodimensionnel plat de longueur L avec entrée par l'aval d'une onde de fréquence unitaire $ Φ=1<math> (condition de Dirichlet) et sortie libre amont <math>ϕx=ikϕ<math> (condition de Robin). Nous utiliserons les notations suivantes : ϕ pour le potentiel, k pour le nombre d’onde fonction de la profondeur H et de la fréquence ω (T est la période), par la relation implicite <math>ω^{2}=gktanh(kH) $, C pour la célérité de l’onde, $ C_{g} $ pour la célérité de groupe des vagues.

Nous utiliserons les valeurs suivantes :$ k=\frac{1}{100} $ (nombre d'onde en m-1), $ H=40 $ (profondeur en m),$ c=\sqrt[2]{gH} $ (célérité de l'onde en m/s),$ λ=2πk $ (longueur d'onde en m) ,$ L=2λ $ (longueur du domaine en m).

Résolution analytique :

Le modèle de Berkhoff a pour une expression :$ \nabla(CC_{g}\nabla(Ф))+k^{2}CC_{g}Ф = 0 $.

On simplifie le problème en se plaçant dans le domaine des ondes longues : $ C=C_{g} $

On obtient donc : $ C^{2}\Delta(Ф)+k^{2}C^{2}Ф=0 $ , c'est-à-dire : $ \frac{\partial^{2} Ф}{\partial x^2}+k^{2}Ф=0 $.

L'équation caractéristique est de la forme suivante : $ ar^{2}+br+c=0 $. On calcule $ \Delta=-4k^{2} $ On a : $ Φ(x) = Ae^{-ikx}+Be^{ikx} $ et $ \frac{\partial^{1}Φ(x)}{\partial x}=-ikAe^{-ikx}+ikBe^{ikx} $ .