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Réservoir linéaire (modèle du) (HU)

De Wikigeotech

Traduction anglaise : Linear reservoir

Fonction de transfert très simple largement utilisée en hydrologie urbaine pour représenter la transformation d'un hydrogramme de pluie nette en hydrogramme à l'exutoire.

Formulation mathématique

Il s’agit d’un modèle « à contrôle aval » qui repose sur l’équation de continuité (1) et sur une équation de stockage (2) :


$ \frac{dV_s}{dt} = Q_e(t) – Q_s(t)\quad(1) $


$ Vs(t) = K . Q_s(t)\quad(2) $

  Avec :

  • $ Vs(t) $ : stockage à l’instant t ;
  • $ Qs(t) $ : débit à l’exutoire à l’instant t ;
  • $ Qe(t) $ : débit entrant ;
  • $ K $ : paramètre du modèle, homogène à un temps.

La combinaison de ces deux équations conduit à une équation différentielle du premier ordre, dont la solution pour $ K $ constant est :


$ Q_s(t) = Q_s(0).e^{-t/K} + \frac{1}{K}\int{Q_e(u).e^{-\frac{t-u}{K}}.du} +Q_b $


Avec

  • $ Q_s(0) $ : débit à t = 0 résultant par exemple d’un écoulement précédent ;
  • $ Q_b $ : débit de base permanent éventuel.

D’un point de vue théorique, le paramètre $ K $ correspond au décalage temporel des centres de gravité de $ Q_e(t) $ et $ Q_s(t) $. D’après l’équation ci-dessus, l’hydrogramme unitaire instantané du modèle est :


$ O(t) = \frac{1}{K}.e^{-t/K} $


Le maximum de l’opérateur $ O(t) $ se produit à $ t=0 $ (Voir figure 3) et l’on peut donc s’attendre à ce que le modèle réponde plus rapidement que la réalité. D’un point de vue physique, l’équation de l’hydrogramme unitaire instantané est analogue à la décharge transitoire d’un condensateur électrique. C’est la raison pour laquelle le modèle agit comme un filtre « passe-bas » des pluies entrées du modèle en amortissant les composantes de hautes fréquences de ces pluies.

Figure 3 : Représentation de la fonction $ O(t) $.


Utilisation pratique

La fonction $ Q_e(t) $ n'est généralement pas connue sous une forme analytique ; elle doit donc être approchée par une fonction simple pour permettre l'intégration du modèle. La démarche la plus courante consiste à la représenter par une fonction en escalier, discrétisée sur un pas de temps constant. La figure 4 présente une telle décomposition.

Figure 4 : Discrétisation du débit à l'entrée.

Sur le plan analytique, la fonction $ Q_e(t) $ peut alors être écrite comme une succession de $ n $ segments horizontaux de droites :

$ Q_e(t) $ = $ Q_e1 $ si $ 0 ≤ t < Δt $

$ Q_e(t) $ = $ Q_e2 $ si $ Δt ≤ t < 2.Δt $

...

$ Q_e(t) $ = $ Q_ei $ si $ (i-1).Δt ≤ t < i.Δt $

...

$ Q_e(t) $ = $ Q_en $ si $ (n-1)Δt ≤ t < n.Δt $


Il est alors facile d'intégrer $ Q_s(t) $ :

$ Q_s(t) = \frac{1}{K}\int{Q_e(u).e^{-\frac{t-u}{K}}.du} +Q_s(0) $
$ Q_s(t) = \frac{1}{K}\sum_{i=1}^n{\int_{(i-1).Δt}^{i.Δt}{Q_e(u).e^{-\frac{t-u}{K}}.du}} +Q_s(0) $

soit finalement :

En posant Qsi = Qs(i.*t), on obtient ainsi une formule de récurrence facile à utiliser :

     (7)


Valeur du paramètre K

De nombreuses relations empiriques ont été proposées pour déterminer le paramètre K pour ded bassins versants non jaugés. En France, on utilise généralement divers ajustements proposés par Desbordes (1974) comme, par exemple :

$ K = 5,93.A^{0,441} $

$ K = 0,494.A^{-0,0076}.IMP^{-0,512}.I^{-0,401}.L^{0,608} $

$ K = 3,55.A^{0,27}.(1 + IMP)^{-1,9}.I^{-0,36}.L^{0,15}.D_p^{0,21}.H_p^{-0,07} $

avec :

  • $ A $ : surface du bassin versant (hectares) ;
  • $ D_p $ : durée de la période de "pluie critique" du bassin (de l'ordre de grandeur du temps de réponse du bassin)(mn) ;
  • $ H_p $ : hauteur de pluie pendant cette durée (mm) ;
  • $ I $ : pente du plus long parcours (%) ;
  • $ IMP $ : coefficient d'imperméabilisation (%) ;
  • $ L $ : longueur du plus long parcours de l'eau (collecteur principal) (m).

Les équations de prédétermination de K peuvent être utilisées au stade des projets ou des simulations de réseaux existants à condition que le bassin ne comporte pas d’ouvrages importants de stockage des eaux pluviales.

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