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Réservoir linéaire (modèle du) (HU) : Différence entre versions
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| − | Les équations de prédétermination de K | + | Les équations de prédétermination de K peuvent être utilisées au stade des projets ou des simulations de réseaux existants à condition que le bassin ne comporte pas d’ouvrages importants de stockage des eaux pluviales. |
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Version du 8 janvier 2020 à 14:34
Traduction anglaise : Linear reservoir
Fonction de transfert très simple largement utilisée en hydrologie urbaine pour représenter la transformation d'un hydrogramme de pluie nette en hydrogramme à l'exutoire.
Formulation mathématique
Il s’agit d’un modèle « à contrôle aval » qui repose sur l’équation de continuité (1) et sur une équation de stockage (2) :
Avec :
- $ Vs(t) $ : stockage à l’instant t ;
- $ Qs(t) $ : débit à l’exutoire à l’instant t ;
- $ Qe(t) $ : débit entrant ;
- $ K $ : paramètre du modèle, homogène à un temps.
La combinaison de ces deux équations conduit à une équation différentielle du premier ordre, dont la solution pour $ K $ constant est :
Avec
- $ Q_s(0) $ : débit à t = 0 résultant par exemple d’un écoulement précédent ;
- $ Q_b $ : débit de base permanent éventuel.
D’un point de vue théorique, le paramètre $ K $ correspond au décalage temporel des centres de gravité de $ Q_e(t) $ et $ Q_s(t) $. D’après l’équation ci-dessus, l’hydrogramme unitaire instantané du modèle est :
Le maximum de l’opérateur $ O(t) $ se produit à $ t=0 $ (Voir figure 3) et l’on peut donc s’attendre à ce que le modèle réponde plus rapidement que la réalité. D’un point de vue physique, l’équation de l’hydrogramme unitaire instantané est analogue à la décharge transitoire d’un condensateur électrique. C’est la raison pour laquelle le modèle agit comme un filtre « passe-bas » des pluies entrées du modèle en amortissant les composantes de hautes fréquences de ces pluies.
Utilisation pratique
La fonction $ Q_e(t) $ n'est généralement pas connue sous une forme analytique ; elle doit donc être approchée par une fonction simple pour permettre l'intégration du modèle. La démarche la plus courante consiste à la représenter par une fonction en escalier, discrétisée sur un pas de temps constant. La figure 4 présente une telle décomposition.
Sur le plan analytique, la fonction $ Q_e(t) $ peut alors être écrite comme une succession de $ n $ segments horizontaux de droites :
* $ Q_e(t) $ = $ Q_e1 $ si $ 0 ≤ t < Δt $ * $ Q_e(t) $ = $ Q_e2 $ si $ Δt ≤ t < 2.Δt $ * ... ; * $ Q_e(t) $ = $ Q_ei $ si $ (i-1).Δt ≤ t < i.Δt $ * ... ; * $ Q_e(t) $ = $ Q_en $ si $ (n-1)Δt ≤ t < n.Δt $
Il est alors facile d'intégrer $ Q_s(t) $ :
<center>$ formule $</center>
soit finalement :
En posant Qsi = Qs(i.*t), on obtient ainsi une formule de récurrence facile à utiliser :
(7)
Valeur du paramètre K
De nombreuses relations empiriques ont été proposées pour déterminer le paramètre K pour ded bassins versants non jaugés. En France, on utilise généralement divers ajustements proposés par Desbordes (1974) comme, par exemple :
$ K = 5,93.A^{0,441} $
$ K = 0,494.A^{-0,0076}.IMP^{-0,512}.I^{-0,401}.L^{0,608} $
$ K = 3,55.A^{0,27}.(1 + IMP)^{-1,9}.I^{-0,36}.L^{0,15}.D_p^{0,21}.H_p^{-0,07} $
avec :
- $ A $ : surface du bassin versant (hectares) ;
- $ D_p $ : durée de la période de "pluie critique" du bassin (de l'ordre de grandeur du temps de réponse du bassin)(mn) ;
- $ H_p $ : hauteur de pluie pendant cette durée (mm) ;
- $ I $ : pente du plus long parcours (%) ;
- $ IMP $ : coefficient d'imperméabilisation (%) ;
- $ L $ : longueur du plus long parcours de l'eau (collecteur principal) (m).
Les équations de prédétermination de K peuvent être utilisées au stade des projets ou des simulations de réseaux existants à condition que le bassin ne comporte pas d’ouvrages importants de stockage des eaux pluviales.
