Réservoir linéaire (modèle du) (HU) : Différence entre versions
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− | <center><math>\frac{dV_s}{dt} = Q_e(t) – Q_s(t)(1)</math></center> | + | <center><math>\frac{dV_s}{dt} = Q_e(t) – Q_s(t)\quad(1)</math></center> |
− | <center><math>Vs(t) = K . Q_s(t)(2)</math></center> | + | <center><math>Vs(t) = K . Q_s(t)\quad(2)</math></center> |
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La combinaison de ces deux équations conduit à une équation différentielle du premier ordre, dont la solution pour <math>K</math> constant est : | La combinaison de ces deux équations conduit à une équation différentielle du premier ordre, dont la solution pour <math>K</math> constant est : | ||
− | <center><math>Q_s(t) = Q_s(0) e^{-t/K} + \frac{1}{K}</math></center> | + | <center><math>Q_s(t) = Q_s(0) e^{-t/K} + \frac{1}{K}\intQ_e(u).e^{-\frac{t-u}{K}}.du +Q_b</math></center> |
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Avec | Avec | ||
− | + | * <math>Q_s(0)</math> : débit à t = 0 résultant par exemple d’un écoulement précédent ; | |
− | + | * <math>Q_b</math> : débit de base permanent éventuel. | |
− | + | ||
− | D’un point de vue théorique, le paramètre K correspond au décalage temporel des centres de gravité de | + | D’un point de vue théorique, le paramètre <math>K</math> correspond au décalage temporel des centres de gravité de <math>Q_e(t)</math> et <math>Q_s(t)</math>. D’après l’équation ci-dessus, [[Hydrogramme unitaire instantané / HUI (HU)|l’hydrogramme unitaire instantané]] du modèle est : |
− | O(t) = (1/K) e-t/K | + | <center><math>O(t) = (1/K) e{-t/K}</math></center> |
− | Le maximum de l’opérateur O(t) se produit à t=0 et l’on peut donc s’attendre à ce que le modèle réponde plus rapidement que la réalité. D’un point de vue physique, l’équation de l’hydrogramme unitaire instantané est analogue à la décharge transitoire d’un condensateur électrique. C’est la raison pour laquelle le modèle agit comme un filtre « passe-bas » des pluies entrées du modèle en amortissant les composantes de hautes fréquences de ces pluies. | + | Le maximum de l’opérateur <math>O(t)</math> se produit à <math>t=0</math> et l’on peut donc s’attendre à ce que le modèle réponde plus rapidement que la réalité. D’un point de vue physique, l’équation de l’hydrogramme unitaire instantané est analogue à la décharge transitoire d’un condensateur électrique. C’est la raison pour laquelle le modèle agit comme un filtre « passe-bas » des pluies entrées du modèle en amortissant les composantes de hautes fréquences de ces pluies. |
De nombreuses realtions empiriques ont été proposées pour déterminer le paramètre K de bassins versants non jaugés. En France, on utilise généralement divers ajustements proposés par Desbordes (1974) comme, par exemple : | De nombreuses realtions empiriques ont été proposées pour déterminer le paramètre K de bassins versants non jaugés. En France, on utilise généralement divers ajustements proposés par Desbordes (1974) comme, par exemple : | ||
− | K = 5,93. | + | \quad\quad\quad<math>K = 5,93.A{0.441}</math> |
− | K = 0,494.A-0.0076.IMP-0.512.I-0.401. | + | \quad\quad\quad<math>K = 0,494.A^{-0.0076}.IMP^{-0.512}.I^{-0.401}.L^{0.608}</math> |
− | K = 3,55 | + | \quad\quad\quad<math>K = 3,55 A^{0,27}.(1 + IMP)^{-1,9}.I^{-0,36}.L{0,15}.D_p^{0,21}.H_p^{60,07}</math> |
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· Hp : hauteur de pluie sur cette durée ‘ mn) | · Hp : hauteur de pluie sur cette durée ‘ mn) | ||
− | Les équations de | + | Les équations de prédétermination de K ou K’ peuvent être utilisées au stade des projets ou des simulations de réseaux existants à condition que le bassin ne comporte pas d’ouvrages importants de stockage des eaux pluviales. |
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Version du 8 janvier 2020 à 11:57
Traduction anglaise : Linear reservoir
Fonction de transfert très simple largement utilisée en hydrologie urbaine pour représenter la transformation d'un hydrogramme de pluie nette en hydrogramme à l'exutoire.
Il s’agit d’un modèle « à contrôle aval » qui repose sur l’équation de continuité (1) et sur une équation de stockage (2) :
Avec :
- $ Vs(t) $ : stockage à l’instant t ;
- $ Qs(t) $ : débit à l’exutoire à l’instant t ;
- $ Qe(t) $ : débit entrant ;
- $ K $ : paramètre du modèle, homogène à un temps.
La combinaison de ces deux équations conduit à une équation différentielle du premier ordre, dont la solution pour $ K $ constant est :
Avec
- $ Q_s(0) $ : débit à t = 0 résultant par exemple d’un écoulement précédent ;
- $ Q_b $ : débit de base permanent éventuel.
D’un point de vue théorique, le paramètre $ K $ correspond au décalage temporel des centres de gravité de $ Q_e(t) $ et $ Q_s(t) $. D’après l’équation ci-dessus, l’hydrogramme unitaire instantané du modèle est :
Le maximum de l’opérateur $ O(t) $ se produit à $ t=0 $ et l’on peut donc s’attendre à ce que le modèle réponde plus rapidement que la réalité. D’un point de vue physique, l’équation de l’hydrogramme unitaire instantané est analogue à la décharge transitoire d’un condensateur électrique. C’est la raison pour laquelle le modèle agit comme un filtre « passe-bas » des pluies entrées du modèle en amortissant les composantes de hautes fréquences de ces pluies.
De nombreuses realtions empiriques ont été proposées pour déterminer le paramètre K de bassins versants non jaugés. En France, on utilise généralement divers ajustements proposés par Desbordes (1974) comme, par exemple :
\quad\quad\quad$ K = 5,93.A{0.441} $
\quad\quad\quad$ K = 0,494.A^{-0.0076}.IMP^{-0.512}.I^{-0.401}.L^{0.608} $
\quad\quad\quad$ K = 3,55 A^{0,27}.(1 + IMP)^{-1,9}.I^{-0,36}.L{0,15}.D_p^{0,21}.H_p^{60,07} $
avec :
· Dp : durée de la pluie critique du bassin (en mn) (de l’ordre de garndeur du temps de concentration) ;
· Hp : hauteur de pluie sur cette durée ‘ mn)
Les équations de prédétermination de K ou K’ peuvent être utilisées au stade des projets ou des simulations de réseaux existants à condition que le bassin ne comporte pas d’ouvrages importants de stockage des eaux pluviales.