Modèle de plan de vagues
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Contexte
Le tracé des plans de vagues est une méthode proposée par Huyghens. En partant d’une ligne de crête initiale, il propose de retrouver les lignes de crête suivantes. Cette méthode très simple et très physique est devenue populaire dès les années 1950s pour les dimensionnements d’aménagements maritimes. Limitée au traitement du phénomène de réfraction d’une houle régulière, elle a été depuis les années 1980 remplacée par d’autres modèles à phase moyennée.
Courbure des orthogonales
L’équation de pente douce peut s’exprimer en utilisant le module A et la phase S du potentiel complexe $ \psi\, $ : $ \psi\, $= A ejkS. La partie réelle de l’équation de pente douce s’écrit alors :
$ {|\overrightarrow{\nabla S}}|^2=k^2+\frac{\Delta A} {A}+\frac {\overrightarrow{\nabla c c_g}} {cc_g}.\frac{\overrightarrow{\nabla A}}{A} $ (1)
Négligeant les deux derniers termes associés au phénomène de diffraction, on aboutit à l’équation eikonale qui régit la réfraction de la houle:
$ {|\overrightarrow{\nabla S}}|^2=k^2 $ (2)
En utilisant le fait que le rotationnel d’un gradient est le vecteur nul, on obtient alors :
$ \vec\nabla\land\vec k= \vec 0 $ (3)
Soit $ \alpha\, $ l’angle entre l’axe Ox et la direction d’une ligne de crête donnée par le vecteur unitaire $ \vec u_n $ . Soit le vecteur unitaire $ \vec u_s $ représentant la direction de propagation de la houle, perpendiculaire à la ligne de crête. Dans les repère Oxy, le vecteur $ \vec k $ s’écrit de la façon suivante : $ \vec k = -k \sin \alpha\,\vec i + k \cos \alpha\,\vec j $. La relation (3) devient alors:
$ \cos\alpha\frac{\partial k} {\partial x}+\sin\alpha\frac{\partial k} {\partial y}=k\sin\alpha\frac{\partial \alpha} {\partial x}-k\cos\alpha\frac{\partial \alpha} {\partial y} $ (4)
Ecrivons un vecteur $ \vec u $ quelconque sur les deux repères :
$ \vec u=x\vec i+y\vec j=n\vec u_n+s\vec u_s $ (5)
Les relations vectorielles sont les suivantes :
$ \vec u_n=\cos\alpha\vec i+\sin\alpha\vec j $ et $ \vec u_s=-\sin\alpha\vec i+\cos\alpha\vec j $ (6)
Les relations de projection sont les suivantes :
$ x=n\,\cos\alpha-s\,\sin\alpha\, $
$ y=n\,\cos\alpha+s\,\sin\alpha\, $ (7)
Les dérivées partielles peuvent se décomposer de la façon suivante :
$ \frac{\partial k}{\partial n}=\frac{\partial x}{\partial s}\frac{\partial k}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial s}\frac{\partial k}{\partial y}=\cos\alpha\frac{\partial k}{\partial x}+\sin\alpha\frac{\partial k}{\partial y} $ (8)
$ \frac{\partial \alpha}{\partial s}=\frac{\partial x}{\partial s}\frac{\partial s}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial s}\frac{\partial \alpha}{\partial y}=-\sin\alpha\frac{\partial \alpha}{\partial x}+\cos\alpha\frac{\partial \alpha}{\partial y} $ (9)
En reportant ces deux dernières équations dans l’équation (4), on s’aperçoit que le changement de direction d’une orthogonale est donnée par la relation :
$ \frac{\partial \alpha}{\partial s}=-\frac{1}{k}\frac{\partial k}{\partial n} $ (10)
Or comme $ k= \frac{\omega}{c} $ et que $ \omega\, $ est une constante du problème (houle monochromatique), on aboutit finalement à l’équation donnant la courbure des orthogonales :
$ \frac{\partial \alpha}{\partial s}=-\frac{1}{c}\frac{\partial c}{\partial n} $ (11)
Prenons par exemple un trait de côte linéaire situé en $ x=0\, $ orienté Est. La bathymétrie est supposée invariante parallèlement à la côte et varier de manière exponentielle en s’éloignant de la côte sous la forme $ d=e^{2\alpha x}\, $. En prenant l’hypothèse des ondes longues, la célérité varie sous la forme $ c=e^{\alpha x}\, $. Nous considérons une houle venant du Sud (c’est-à-dire $ \alpha=0\, $). L’équation (11) donne alors :$ \frac{\partial \alpha}{\partial s}=\cos\alpha\frac{1}{c}\frac{\partial c}{\partial x}=\alpha\cos\alpha $.
Cette dernière équation s’intègre facilement $ \int_0^\alpha\frac{d\alpha}{\cos\alpha} =\begin{bmatrix} a & s \end{bmatrix}_0^s $. Tout calcul fait, les variations de l’angle des lignes de crête a sont décrites par l’équation suivante : $ \alpha (s)=2\arctan {e^{\alpha s}}-\frac{\pi}{2} $. On vérifie alors que l’angle des lignes de crête $ \alpha\, $ tend vers $ \frac{\pi}{2} $ lorsque $ s\, $ tend vers l’infini. Cela signifie que les lignes de crêtes tendent à s’orienter parallèlement à la côte ou dit autrement que les orthogonales se tournent vers les hauts fonds, la houle du Sud s’orientant ici vers l’Ouest.Conservation du flux entre deux orthogonales
La hauteur de houle est calculée en écrivant que l’énergie transmise en moyenne sur une période à travers un plan vertical perpendiculaire à la direction de propagation et comprise entre deux orthogonales est la même au point de départ et à l’endroit considéré. En partant de l’équation de conservation du flux $ \vec\nabla.\vec P = 0 $ et en utilisant le théorème de la divergence, on obtient : $ \int_\Omega \vec\nabla.\vec P d \Omega=\oint\limits_{\Gamma}\vec P.\vec n d \Gamma =0 $ (12)
avec $ \Omega\, $ la surface comprise entre deux lignes de crête successive et deux orthogonales voisines. Soit $ \Gamma\, $ le contour fermé contenant la surface $ \Omega\, $ que l’on peut décomposer en quatre éléments de contour. On doit alors traiter l’équation suivante : $ \int_{\Gamma_1} \vec P.\vec n d {\Gamma_1}+\int_{\Gamma_2} \vec P.\vec n d {\Gamma_2}+\int_{\Gamma_3} \vec P.\vec n d {\Gamma_3}+\int_{\Gamma_4} \vec P.\vec n d {\Gamma_4}=0 $ (13)
Or on rappelle que $ \vec P = c c_g A^2 \vec\nabla S $. Par définition le gradient $ \vec\nabla S $ est perpendiculaire aux lignes de crête ce qui implique : $ \int_{\Gamma_2} \vec P.\vec n d {\Gamma_2}=\int_{\Gamma_4} \vec P.\vec n d {\Gamma_4}=0 $ (14)
Comme $ \vec\nabla S $ est égale à $ -k\, $ sur la frontière $ \Gamma_1 $ et est égale à $ k\, $ sur la frontière $ \Gamma_3 $, on obtient :
$ c_{g1}{A_1}^2 l_1 = c_{g3}{A_3}^2 l_3 $ (15)
Soit encore :
$ \frac{A_3}{A_1} =\sqrt{ \frac{l_1} {l_3} } \sqrt{ \frac{c_{g1}} {c_{g3}} }= $ Kréfraction x Kshoaling (16)
Les valeurs de cg ne dépendent que de la profondeur d et peuvent être calculées en tout point. Elles fournissent le coefficient de shoaling Kshoaling. Les espacements entre orthogonales sont calculés à partir de la méthode de tracés des orthogonales décrite précédemment. La racine carrée du rapport des espacements fournit le coefficient de réfraction Kréfraction.
Données nécessaires à la mise en oeuvre
A partir d’un semis de points, le code de calcul maille le domaine et interpole la bathymétrie sur une grille régulière.
L’utilisateur spécifie la direction, la hauteur et la période de la houle ainsi que le nombre d’orthogonales et leur espacement.
Méthodes numériques spécifiques
Pour le calcul courant d’une orthogonale, on prend un pas de calcul égal à la longueur d’onde qui est variable afin d’obtenir immédiatement les lignes de crête en joignant les points correspondants définissant les orthogonales.
Au point Pi on calcule :
La profondeur d, la longueur d’onde L et la courbure $ \rho=\frac{\partial\alpha}{\partial s}=\frac{1} {c}\frac{\partial c}{\partial n}=\frac{1} {L}\frac{\partial L}{\partial n} $
On calcule les coordonnées du point suivant Pi+1 :
$ x_{i+1}= x_i - L_i \sin {\alpha}_i - \frac {{\rho}_i} {2} {L_i}^2 \cos {\alpha}_i $
$ y_{i+1}= y_i - L_i \cos {\alpha}_i - \frac {{\rho}_i} {2} {L_i}^2 \sin {\alpha}_i $ (17)
Au point Pi+1 on calcule d, L et $ \rho $
On recalcule les coordonnées du point Pi+1
On recalcule les coordonnées xi+1 et yi+1 en prenant au lieu de Li et $ \rho $i les moyennes (Li+ Li+1)/2 et ($ \rho $i+ $ \rho $i+1)/2. On obtient ainsi un point P’i+1 qui est très voisin de Pi+1. On calcule enfin :
$ {\alpha}_{i+1}= {\alpha}_{i}+\frac{ ({\rho}_i + {\rho}_{i+1}) (L_i+L_{i+1}) } {4} $ (18)
Puis on recommence en partant du point P’i+1
Le calcul d’une orthogonale est terminé, soit lorsqu’elle arrive très près du rivage (lorsque la profondeur d’eau est inférieure à 2 m par exemple), soit lorsqu’elle traverse un segment d’arrêt, que l’on situe à l’emplacement de l’ouvrage où on veut obtenir la hauteur de la houle.
Résultats fournis par le code et exploitation
Le code d’exploitation trace les orthogonales et les lignes de crête (plan de vagues vu du ciel). On en déduit la hauteur de houle et la direction de la houle à la côte.
Exemples de modèles
Le modèle VAG est le modèle de tracé de plan de vagues du CETMEF (ex STCPMVN).
Références
Vansteeenkiste F., Aristaghes C. et Agostini P. (1990). Notice d’utilisation du programme VAG – Tracé de plans de vagues. Notice STCPMVN INF n° 90.3
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